Ijsbergdidactiek


Inleiding

Wiskunde is een belangrijk deel van de leerstof in de lagere school. Heel wat kinderen hebben daar negatieve ervaringen mee. Ze kunnen het niet zo goed en/of ze doen het niet graag. Onze leerlingen blijken het op internationaal niveau goed te doen als het rekensommen aankomt. Wiskundeproblemen aanpakken blijkt al heel wat moeilijker. Misschien is het eens tijd om ons wiskundeonderwijs eens onder de loep te nemen.
We hebben de neiging om ons erg te focussen op het uitrekenen van sommen eerder dan op het ontwikkelen van getal- en structuurbegrip. Nochtans is het laatste een noodzakelijke voorwaarde om het eerste vlot te kunnen. Bovendien moeten we ons afvragen wat wiskunde eigenlijk is: “Wiskunde is de wetenschap die structuren en patronen bestudeert.” Rekenen is het maken van sommen en wordt gezien als een onderdeel van wiskunde. Rekenvaardigheden kunnen we als het moet vervangen door een rekenmachine, wiskunde-inzicht niet. ‘Abstractie’ is de kracht van wiskunde. Maar zonder begrip leidt het alleen maar tot verwarring.
Wiskunde is een poging van de mensheid om vat te krijgen op ontelbare hoeveelheden. In de prehistorie werd, door herders die hun dieren moesten tellen, gebruik gemaakt van kerfstokken. Dit rekenapparaat bestond uit een stok, waarin streepjes waren gesneden. Als de herder zijn kudde telde, schoof hij een touwtje langs de streepjes en zo kon hij zien of hij zijn hele kudde nog bijeen had.

Onoverzichtelijke hoeveelheden zijn we beginnen structureren en steeds meer gaan formaliseren in sommentaal. De schapen werden aanvankelijk voorgesteld door streepjes in een kerfstok. Nadien werden grotere hoeveelheden gestructureerd per tien. Daaruit is het decimaal stelsel voortgekomen, dat wij vandaag gebruiken. Waarschijnlijk vindt dit zijn oorsprong in het tellen op onze tien vingers. In sommige culturen werd ook met het twintigdelig stelsel gewerkt, doordat men op vingers en tenen telde. Een erfenis daarvan is het Franse woord voor 80, quatre-vingts, dat letterlijk 4 keer 20 betekent. De Soemeriërs en Babyloniërs gebruikten een zestigtallig stelsel, wat nog altijd naklinkt in de verdeling van uren in minuten en die van minuten in seconden.

Het al dan niet verwerven van dat decimaal inzicht is bepalend voor het verdere leerproces. Bovendien moeten kinderen zien dat somnotaties formele beschrijvingen zijn van dezelfde decimale structuren. Zonder mentale beelden van de getalstructuur blijven kinderen tellend rekenen en hun werkgeheugen overbelasten.

Het verwerven van wiskundevaardigheden kunnen we vergelijken met een ijsberg, waarbij het maken van sommen (formeel rekenen) slechts het topje van de ijsberg is. Onder het wateroppervlak zit het fundament of het drijfvermogen, nl. wiskunde. Helemaal onderaan de ijsberg wordt concreet handelend kennis gemaakt met rekenbegrippen en -strategieën. Wanneer kinderen dit inzicht verworven hebben, worden de concrete handelingen gesymboliseerd door een model. Modellen maken de structuur inzichtelijk. Pas al kinderen dit goed onder de knie hebben, hebben ze voldoende bagage om naar de kortste rekenstrategie over te gaan, nl. het formeel rekenen.

 

We houden geen betoog dat geautomatiseerde rekenvaardigheden niet belangrijk zouden zijn, integendeel. We mogen alleen niet vergeten de vaardigheden onder het topje van de ijsberg ook te automatiseren. Het doel van wiskundeonderwijs is functionele gecijferdheid waarbij we kinderen zo redzaam mogelijk willen maken in de maatschappij. Hoe beter kinderen kunnen hoofdrekenen, hoe minder ze afhankelijk zijn van hulpmiddelen. We willen de weg naar geautomatiseerde rekenfeiten voor zo veel mogelijk kinderen zo goed mogelijk faciliteren.

Niet voor alle kinderen is het haalbaar om voor elk domein van wiskunde het topje van de ijsberg te halen. Het doel van ons wiskundeonderwijs is dat alle leerlingen binnen hun mogelijkheden de meest efficiënte rekenstrategie kunnen hanteren oftewel zo hoog mogelijk in de ijsberg geraken.

Als leerkracht is het belangrijk om alle kinderen de tools aan te reiken op elke laag van de ijsberg zodat aan alle leerlingen hun onderwijsbehoeften tegemoet kan gekomen worden zonder te verzanden in LAT-onderwijs (learning apart thogether). Het uitgangspunt is dat elke leerling participeert aan de les binnen de laag waarop hij of zij rekenconcepten aan het verwerven is.  We gaan dus differentiëren in aanpak zonder direct te moeten differentiëren in moeilijkheidsgraad.

Om dit te kunnen realiseren is het belangrijk dat reeds in de 2e kleuterklas gericht en systematisch aan alle lagen van de ijsberg gewerkt wordt. Enkel zo kunnen we kinderen aan boord houden.

Achterliggende theorieën

We vertrekken vanuit 4 onomstotelijk bewezen en wereldwijd geaccepteerde leertheorieën in het verwerven van wiskundeconcepten.

CSA-model (Jerome Bruner): “Kennis is een proces, geen product”

Jerome Bruner is een cognitieve ontwikkelingspsycholoog die stelt dat kinderen nieuwe kennis opdoen wanneer ze 3 stadia van voorstellingen doorlopen hebben:

  • De motorische voorstelling: in de eerste fase leren we door motorisch te handelen.
  • De schematische voorstelling: in de tweede fase leren we door de kennis voor te stellen in afbeeldingen, schema’s, tekeningen, …
  • De symbolische voorstelling: in de derde fase wordt de kennis gesymboliseerd door gesproken of geschreven taal.

De klemtoon ligt daarbij op het materieel handelen als essentiële voorwaarde voor het tot stand komen van een ‘volwaardige‘ mentale handeling (ook voor sterke rekenaars).

Deze theorie heeft zich vertaalt in het CPA-model voor wiskunde. Om kinderen een abstract concept aan te leren moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept. Vervolgens leer je een picturale representatie van dat abstract concept om te eindigen met de abstracte representatie van dat concept.

Theory of Variability (Zoltan Dienes)

Zoltan Dienes gaat uit van 2 aanvullende principes om wiskundeconcepten te leren: het principe van perceptuele variabiliteit en het principe van wiskundige variabiliteit.

Perceptuele variabiliteit

Het wiskundeproces is een abstractieproces: van concreet manipuleerbaar materiaal naar abstracte notaties. Wanneer kinderen aan wiskundige concepten verschillende voorstellingen kunnen koppelen in uiteenlopende contexten, wordt het abstractieproces gemaximaliseerd. Daarom zullen we voor de wiskundige concepten meer dan 1 voorstellingswijze aanbieden.

Voorbeeld: getal 23 kan op verschillende manier voorgesteld worden

Wiskundige variabiliteit

Wiskundige concepten worden het best gegeneraliseerd als ze geoefend worden in veel verschillende soorten oefeningen met variatie in:

  • Type opgaven
  • Betekenis in de opgaven
  • Representatie in de opgaven

Spiral Approach (Jerome Bruner)

De spiraalaanpak stelt dat nieuwe concepten steeds moeten opgebouwd worden vanuit bestaande kennis. Leerinhouden worden steeds opnieuw aangebracht, heropgevist en verankerd in steeds moeilijkere contexten en op steeds formeler niveau. Zo wordt de leerstof op een steeds dieper niveau beheerst en wordt kennis aan elkaar gekoppeld.

Theory of Conceptual Understanding (Richard Skemp)

Skemp suggereerde dat er twee soorten van leren zijn:

Procedureel leren

Procedureel onderwijzen bestaat in hoofdzaak uit het aanleren van een regel zonder de uitleg waarom dat zo is. Op korte termijn gaat dit sneller voor de leerkracht.

Voorbeeld:   ½ : ¼ We leren kinderen gewoon de regel (breuk x omgekeerde breuk)

Conceptueel leren

Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.

Voorbeeld: ½ : ¼  Kinderen kunnen de regel uitleggen omdat ze inzien dat ¼ 2 keer in ½ past.

 

De ijsberg als didactisch kader

Bovenstaande leertheorieën bieden een antwoord op de vraag hoe er geleerd wordt. Kinderen leren abstracte wiskundige concepten door:

  • Vanuit concrete handelingen steeds verder te formaliseren (Bruner)
  • Concepten te leren en te kunnen uitleggen (Skemp)
  • Spiraalgewijs concepten steeds te verdiepen en abstraheren (Bruner)
  • Concepten op verschillende wijzen te kunnen voorstellen in verschillende contexten (Dienes)

Het ijsbergmodel biedt een handig didactisch kader die aan al die leertheorieën tegemoetkomt. Daarin wordt per domein verduidelijkt wat er geleerd moet worden. Het didactisch kader vindt zijn grondslag in het realistisch rekenonderwijs (Moerlands en Boswinkel) van het Freudenthal instituut in Nederland. We vinden het kader op zich zeer verhelderend en daarom gebruiken we het. Dit betekent evenwel niet dat we de didactiek van het realistisch rekenonderwijs onderschrijven. Het model van directe instructie, inoefenen en automatiseren staat centraal op de verschillende lagen van de ijsberg.

Het didactisch kader stelt dat het wiskundeproces verloopt volgens 4 vaste lagen die van toepassing zijn op alle domeinen van wiskunde:

  1. Uiterlijk en functie van getallen en bewerkingen: Kinderen maken handelend kennis met wiskundeconcepten. Het materiaal is concreet en manipuleerbaar.
  2. Inhoud en structuur van getallen en bewerkingen: De concrete materialen worden vervangen door een gestructureerd model. In eerste instantie zijn dat nog telbare, manipuleerbare modelmaterialen. In een latere fase worden ze schematisch.
  3. Getalrelaties: De getalstructuren zijn mentaal opgeslagen en kunnen achterwege gelaten worden. De onderlinge relaties tussen de getallen worden onderzocht en geautomatiseerd.
  4. Formeel niveau: Rekenfeiten en procedures worden geautomatiseerd volgens het conceptueel leren in de voorgaande lagen.

In het drijfvermogen worden getalbegrip en getalstructuren ontwikkeld in een variatie aan contexten en voorstellingswijzen (cfr. theorieën van Dienes en Skemp). In de aanleerfase van elk rekenconcept doorlopen we steeds alle lagen van de ijsberg zoals het CPA-model stelt. De spiraal-aanpak geldt zowel tussen als binnen de ijsbergen.